Correzione compito in classe

classe IV, Febbraio 2005

In un piano cartesiano xOy sia A(1,0) e B un punto generico dell'asse y. Indicato con C il terzo vertice di un triangolo equilatero ABC posto nel I quadrante, determina l'equazione parametrica del luogo descritto da C prendendo come parametro l'inclinazione di AB rispetto all'asse x. Determina inoltre l'equazione cartesiana. Determina infine in quali casi l'area del triangolo č minore di 1. 
Preso come variabile l'angolo OAB, indicato con α,
per α Î [0 , π/2[
	x = 1 - AC·cos(α+π/3) = 1 - 1/cos(α)·cos(α+π/3)
	y = AC·sin(α+π/3) = 1/cos(α)·sin(α+π/3)
ovvero
	x = 1 - cos(π/3)+sin(π/3)tg(α) = 1/2+Ö(3)tg(α)/2
	y = tg(α)cos(π/3)+sin(π/3) = tg(α)/2+Ö(3)/2

sono le equazioni parametriche del luogo.

L'equazione cartesiana si ottiene eleiminando tg(α)

	y - Ö(3)/2 = (x - 1/2)Ö(3)/3

dove, guardando soprattutto il disegno, x>1/2.

L'area del triangolo č
	f(x)=1/2 AB·ABÖ(3)/2 = Ö(3)/(4·cosē(x))
		sempre per x Î [0,π/2[
dunque č minore di 1 quando
	cosē(x) > Ö(3)/4
ovvero
        cos(x) < -4Ö(3)/2  Ú cos(x) > 4Ö(3)/2
Nell'ambito dei limiti del nostro problema
	0 < x < arccos(4Ö(3)/2) circa 0.85
pagina di Roberto Ricci L.S. "A. Righi", Bologna. Ultima revisione